【微分方程式①】直接積分形と変数分離形
投稿:2023/11/07 更新:2024/09/24
こんにちは！ でるてぃーです。
今回から微分方程式のお話。最も基本となる直接積分形と変数分離形の計算問題です。
手を動かして、少ない時間で効率よくやっていきましょう。
直接積分形
解法
$y'=f(x)$の形になっている微分方程式を直接積分形とよびます。何も考えず両辺$x$で積分しましょう。
$\therefore y=\int f(x)dx+C $
【例題1】
$y'=cos2x-sinx$ の一般解を求めよ.
【例題2】
$y'=\frac{3}{x^2}+\sqrt{x}$ の一般解を求めよ.
【例題3】
$y''=3x+1$ の一般解を求めよ.
変数分離形
解法
$X(x),Y(y)$それぞれ$x,y$の関数とします。このとき
$y'=X(x)Y(y)$
で表される微分方程式を変数分離形といいます。$y'=\frac{dy}{dx}$なので、ネーミングの通り、次のように$dx,dy$と変数を分離しちゃいましょう。
$\frac{dy}{dx}=X(x)Y(y)$
$\frac{1}{Y(y)}dy=X(x)dx$
$\therefore \int \frac{1}{Y(y)}dy=\int X(x)dx+C$
【例題4】
$y'=2x(y+3)$ の一般解を求めよ.
【例題5】
$y'=(y+1)^2$ の一般解を求めよ.
【例題6】
$y'=tanxtany$ の一般解を求めよ.
【例題7】
$\sqrt[3]{x}y'+3xy=x$ の一般解を求めよ.
復習問題
何も見ずにもう一回やってみよう。
【例題1】
$y'=cos2x-sinx$ の一般解を求めよ.
【例題2】
$y'=\frac{3}{x^2}+\sqrt{x}$ の一般解を求めよ.
【例題3】
$y''=3x+1$ の一般解を求めよ.
【例題4】
$y'=2x(y+3)$ の一般解を求めよ.
【例題5】
$y'=(y+1)^2$ の一般解を求めよ.
【例題6】
$y'=tanxtany$ の一般解を求めよ.
【例題7】
$\sqrt[3]{x}y'+3xy=x$ の一般解を求めよ.
まとめ
今回の内容はまだまだ簡単。これからパターンがいっぱい出てきますが、たくさん手を動かして慣れていきましょう！
次は同次形やります。
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プロフィール
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大学2年。趣味はそろばんと資格勉強。個別指導塾とHP更新のバイトをしています。