【微分方程式②】同次形
投稿:2023/11/10 更新:2024/09/24
こんにちは！ でるてぃーです。
今回は同次形ですね。これも簡単なパターンなのでササッと片づけますか。
手を動かして、少ない時間で効率よくやっていきましょう。
同次形
解法
$y'=f(\frac{y}{x})$の形になっている微分方程式を同次形とよびます。
同次形では$u=\frac{y}{x}$とおきます。ここで$u$は$x$についての関数。
で、$y=ux$の両辺を$x$で微分します。合成関数微分なので気を付けて！
$y'=u'x+u$
この式を$y=f(u)$に代入します。
$u'x+u=f(u)$
さらに変形すると、$u$についての変数分離形に帰着することがわかります。
$u'=\frac{1}{x}(f(u)-u)$
$\frac{1}{f(u)-u}du=\frac{1}{x}dx$
【例題1】
$y'=\frac{3x+y}{x}$ の一般解を求めよ.
【例題2】
$xyy'=x^2+y^2$ の一般解を求めよ.
【例題3】
$x^2y'-xyy'+y^2=0$ の一般解を求めよ.
【例題4】
$xy'=x+2y$ の一般解を求めよ.
復習問題
何も見ずにもう一回やってみよう。
【例題1】
$y'=\frac{3x+y}{x}$ の一般解を求めよ.
【例題2】
$xyy'=x^2+y^2$ の一般解を求めよ.
【例題3】
$x^2y'-xyy'+y^2=0$ の一般解を求めよ.
【例題4】
$xy'=x+2y$ の一般解を求めよ.
まとめ
$\frac{y}{x}$の形になりそうなら、同次形を試してみましょう。
次は定数変化法です。ここらへんからちょっと難しいけど頑張りましょう！
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プロフィール
でるてぃーメモ 管理人
大学2年。趣味はそろばんと資格勉強。個別指導塾とHP更新のバイトをしています。