【微分方程式④】ベルヌーイ形
投稿:2023/11/24 更新:2024/09/24
こんにちは！ でるてぃーです。
今回はベルヌーイ形。とはいっても最後には前回の定数変化法（1階線形微分方程式）に帰着するので、そこまで身構えなくて大丈夫！
手を動かして、少ない時間で効率よくやっていきましょう。
ベルヌーイ形
解法
$x$を変数とする2関数$P(x),Q(x)$、さらに定数$n$を用いて
$y'+P(x)y=Q(x)y^n \cdots(1)$
の形になっている微分方程式をベルヌーイ形とよびます。このパターンって
$y'+P(x)y=Q(x)$
と似てますね。この式は1階線形微分方程式でした。$(1)$式で$n=0$とすれば、何もしなくてもこのパターンになりますね。
※$(1)$式で$n=1$とすると変数分離形になります。
$\frac{1}{y}dy=(Q(x)-P(x))dx$
ベルヌーイ形だなと分かったら、$(1)$式の両辺を$y^n$で割ります。
$y^{-n}y'+P(x)y^{1-n}=Q(x) \cdots(2)$
ここで$u=y^{1-n}$とおいて、この両辺を$x$で微分。合成関数になってるので慎重に。
$\frac{du}{dx}=(1-n)y^{-n}\frac{dy}{dx}$
$\Leftrightarrow y^{-n}y'=\frac{1}{1-n}\frac{du}{dx} \cdots(3)$
$(2)$式に$(3)$式がうまくはまります。
$\frac{1}{1-n}\frac{du}{dx}+P(x)u=Q(x)$
$\Leftrightarrow \frac{du}{dx}+(1-n)P(x)u=(1-n)Q(x)$
なんか見たことある形になりました。これ実は1階線形微分方程式です。もう一回形を確認しましょうか。
$y'+P(x)y=Q(x)$
ということは、ベルヌーイ形は1階線形微分方程式に帰着されて、定数変化法で解くことができます！
【例題1】
$y'-3y=e^{2x}y^3$ の一般解を求めよ.
【例題2】
$y'-y=(x+5)y^2$ の一般解を求めよ.
【例題3】
$2xy'-y=y^3logx$ の一般解を求めよ.
復習問題
何も見ずにもう一回やってみよう。
【例題1】
$y'-3y=e^{2x}y^3$ の一般解を求めよ.
【例題2】
$y'-y=(x+5)y^2$ の一般解を求めよ.
【例題3】
$2xy'-y=y^3logx$ の一般解を求めよ.
まとめ
ベルヌーイ形と気づいて$u=y^{1-n}$と置くまでが難しいですが、これさえできれば慎重に定数変化法で解くだけです！
次はクレロー形やります。
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プロフィール
でるてぃーメモ 管理人
大学2年。趣味はそろばんと資格勉強。個別指導塾とHP更新のバイトをしています。