【微分方程式⑤】クレロー形
投稿:2023/11/29 更新:2024/09/24
こんにちは！ でるてぃーです。
今回はクレロー形。これも比較的簡単なパターンです。
手を動かして、少ない時間で効率よくやっていきましょう。
クレロー形
解法
$x$を変数とする関数$f(x)$を用いて
$y=xy'+f(y') \cdots(1)$
の形になっている微分方程式をクレロー形とよびます。この式の両辺を$x$で微分します。$y$は$x$の（従属）関数なので、合成関数微分に気を付けて！
$y'=y'+xy''+f'(y')y''$
$\Leftrightarrow (x+f'(y'))y''=0$
よってクレロー形の解は
$[1]y''=0$
または
$[2]x+f'(y')=0$
ってことになりますね。
まずは$[1]y''=0$から。積分して$y'=C$ですから$(1)$式に代入して一般解を得ます。
$y=Cx+f(C)$
次に$[2]x+f'(y')=0$ですね。$x=-f'(y')$を$(1)$式に代入して$y=-f'(y')y'+f(y')$となります。つまり上の一般解のほかに
\begin{array}{l} x=-f'(y')\\ y=-f'(y')y'+f(y') \end{array}
という解があるってことですね。この$(x,y)$の組は、ふつう一般解$y=Cx+f(C)$の特殊解にはなり得ないんですよ。なので、特異解とよばれます。
※特異解には積分定数は含まれません。一般解と違って具体的な1つの解ですからね。後で例題2をみればわかると思います。
まとめると、クレロー形の微分方程式
$y=xy'+f(y')$
の解は、次の一般解と特異解となります。
$y=Cx+f(C)（一般解）$
\begin{equation} \begin{array}{l} x=-f'(y')\\ y=-f'(y')y'+f(y') \end{array}（特異解） \end{equation}
また、答え方の注意ですが、特異解のパラメタ$y'$を消去して答えましょう。たまに消去できないやつもあるので注意。
【例題1】
$y=xy'-4y'$ の一般解および特異解を求めよ.
【例題2】
$y=xy'-log(y')$ の一般解および特異解を求めよ.
【例題3】
$y=xy'-\frac{(y')^3}{3}$ の一般解および特異解を求めよ.
復習問題
何も見ずにもう一回やってみよう。
【例題1】
$y=xy'-4y'$ の一般解および特異解を求めよ.
【例題2】
$y=xy'-log(y')$ の一般解および特異解を求めよ.
【例題3】
$y=xy'-\frac{(y')^3}{3}$ の一般解および特異解を求めよ.
まとめ
クレロー形はまあなんとかいけそうですね。でも次がだいぶ重たいので気を引き締めていきましょう！
次は完全微分形やります。
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プロフィール
でるてぃーメモ 管理人
大学2年。趣味はそろばんと資格勉強。個別指導塾とHP更新のバイトをしています。