【微分方程式⑥】完全微分形
投稿:2023/12/07 更新:2024/09/24
こんにちは！ でるてぃーです。
今回は完全微分形。今回はちょっと重いですががんばりましょう！
手を動かして、少ない時間で効率よくやっていきましょう。
完全微分形
全微分の確認
※詳しいことはあんまり触れません。
$2$変数関数$f(x,y)$における$f$の変化量$df$は、$x,y$それぞれの変化量$dx,dy$を用いて、次のように表されます。
$df=f_x(a,b)dx+f_y(a,b)dy$
$f_x$は$f$の$x$による偏導関数で、$\frac{\partial f}{\partial x}$と同じです。
このようにして$f(x,y)$を点$(a,b)$での接平面として$1$次近似することを、$f$の$(a,b)$における全微分といいます。
また、全微分可能な任意の点で成り立つようにしておきましょう。
$df=f_x(x,y)dx+f_y(x,y)dy$
で、今回全微分を使うので軽く頭に入れといてください。
導入
$2$変数関数$p(x,y),q(x,y)$を用意します。突然ですが
$p(x,y)+q(x,y)y'=0$
っていう微分方程式を考えます。（実はこの式が完全微分形のパターンなので覚えといて！）$y'=\frac{dy}{dx}$ですから
$p(x,y)dx+q(x,y)dy=0$
と同じですね。この形、なんだか既視感がありますね。ところで全微分の定義は
$df=f_x(x,y)dx+f_y(x,y)dy$
です。これってもし
$p(x,y)=f_x(x,y) q(x,y)=f_y(x,y)$
となるんだったら
$df=0$
となります。えらいコンパクトな形になりました。こういうわけで$p(x,y)+q(x,y)y'=0$の一般解は
$f(x,y)=C$
となります。このようにあっさりと一般解を出すための条件として使われた
$p(x,y)=f_x(x,y) q(x,y)=f_y(x,y)$
をみたすような$f(x,y)$が存在するとき、$p(x,y)+q(x,y)y'=0$を完全微分形とよびます。
ただ、さっきの
$p(x,y)=f_x(x,y) q(x,y)=f_y(x,y)$
っていう条件は、まず$f(x,y)$が分かってないとホントに満たされているのかわかりません。
つまり$f(x,y)$が最初から与えられてないと$p(x,y)+q(x,y)y'=0$が完全微分形なのか判別できないってことです。さてどうしたものか。
そこで、先人はいろいろ考えて次のような判別方法を導き出しました。
$p(x,y)+q(x,y)y'=0$が完全微分形
$\Leftrightarrow p_y(x,y)=q_x(x,y) \cdots①$
……なんと、$f(x,y)$を使わなくても、$p(x,y)$と$q(x,y)$の情報だけで完全微分形か判別できます！
この証明は長いのでとりあえず飛ばして、見よう見まねでいつものように例題をやりましょう。気になる人は下の記事を参照。
【微分方程式補1】完全微分形の証明
おまけ。完全微分形で使う定理を説明。
解法
$[1]\frac{\partial p(x,y)}{\partial y}=\frac{\partial q(x,y)}{\partial x}$なら完全微分形。
$[2]f(x,y)=\int p(x,y)dx+g(y)$とおく。
$[3]q(x,y)=\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}$を計算し、$\frac{\partial }{\partial y}g(y)=$の形にする。
$[4]\frac{\partial }{\partial y}g(y)=$の式を$y$で積分して$f(x,y)$を求めると、一般解は$f(x,y)=C$
【例題1】
$(3x^2+4y-1)+(4x-2y^2+3)y'=0$ は完全微分形か判定せよ.
【例題2】
$(sinx+cosy)+(xsiny+e^y)y'=0$ は完全微分形か判定せよ.
【例題3】
$(2x+3y+1)+(3x+y^2-5)y'=0$ の一般解を求めよ.
【例題4】
$(\frac{1}{y}+2xy)+(x^2-\frac{x}{y^2})y'=0$ の一般解を求めよ.
【例題5】
$(2xy+e^ycosx)+(x^2+e^ysinx)y'=0$ の一般解を求めよ.
復習問題
何も見ずにもう一回やってみよう。
【例題1】
$(3x^2+4y-1)+(4x-2y^2+3)y'=0$ は完全微分形か判定せよ.
【例題2】
$(sinx+cosy)+(xsiny+e^y)y'=0$ は完全微分形か判定せよ.
【例題3】
$(2x+3y+1)+(3x+y^2-5)y'=0$ の一般解を求めよ.
【例題4】
$(\frac{1}{y}+2xy)+(x^2-\frac{x}{y^2})y'=0$ の一般解を求めよ.
【例題5】
$(2xy+e^ycosx)+(x^2+e^ysinx)y'=0$ の一般解を求めよ.
まとめ
実はまだ完全微分形はこれで終わりではありません。
判定の結果完全微分形じゃなかったときも一般解を出すテクニック、積分因子を次回で扱います。
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プロフィール
でるてぃーメモ 管理人
大学2年。趣味はそろばんと資格勉強。個別指導塾とHP更新のバイトをしています。