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段位応用計算 第11講 複利終価

投稿:2023/09/24 更新:2024/09/24

こんにちは！ でるてぃーです。

今回は第11講、複利終価です。単利法があれば複利法もあります。これが厄介。とにかく頑張っていきましょう！

単利法との違い

・単利法→利息計算を1回行ったときの金額を求める

・複利法→1年の終わりに利息計算するルールで、n年分経ったときの金額を求める

……字面だけではよくわからないと思うので、例を確認していきましょう。

複利法の例

￥$300,000$を年利率$2$%で$3$年借りることを考えましょう。

1年目

￥$300,000$に$2$%の利息が付きます。1年目終わりの元利合計は

$300,000×1.02=306,000$

￥$306,000$となります。

2年目

2年目開始時の元金は￥$306,000$です。2年目終わりには、この元金に利息計算がなされます。

つまり、2年目終わりの元利合計は

$306,000×1.02=312,120$

￥$312,120$となります。

3年目

一応3年目も練習しましょう。

3年目開始時の元金は￥$312,120$です。3年目終わりには、この元金に利息計算がなされます。

つまり、3年目終わりの元利合計は

$312,120×1.02=318,362.4$

￥$318,362.4$となります。

とりあえず、3年目までの元金の推移を表にしてまとめました。

実際の計算

「10年目は？」って言われたらやりたくない

3年間借りた時の金額を計算するのに、わざわざ3回も利息計算しましたね。

じゃあ10年目はどうなるでしょう。10回地道に計算すれば……ってめんどくせー！！

さてどうしたものか。

先人の知恵

なんと、昔の人は「複利終価表」という早見表を作ってくれていました。

この値を使えば、「ある元金」が「ある年利率」で「n年」経過したときの金額が一瞬で分かってしまうのです。

じゃあ、さっきの条件で10年目を計算するには早見表の

$2$%,$10$期

の条件下における値を使えばいいということです。表の値を「複利終価係数」といいます（が、名前まで覚えなくて結構です）。使い方は

元利合計＝元金×複利終価係数

をするだけです。

さらに、早見表をさらにズームしてみましょう。

$2$%,$10$期での値（水色の枠中）は

$1.21899442$

です。この値を使いましょう。

以上により、￥$300,000$を年利率$2$%、10年借りた時、期日に支払う元利合計は

$300,000×1.21899442$

$=365,698.326\fallingdotseq 365,698$

￥$365,698$とすぐに求められます！

※実はこの表、数学的に意味のある配置となっています。また今度、「段位応用計算特論・・」でご紹介いたします。

※あと、『段位応用計算』の問題改正に伴い、試験場で早見表は配られなくなりました。問題にはすでに早見表の値が載っているので、探す手間も省けるようになりました。

試験での対応

・【問題①】元利合計を求める問題

・【問題②】利息を求める問題

この2パターンが出題される。

また、「半年1期」の複利で借りた場合、年利率を半分、期数を2倍にして考える。

例）年利率5%,半年1期の複利で6年借りる場合

→年利率2.5%,1年1期の複利で12年借りる場合と同じだから、早見表で見るべきは

2.5%,12期の複利終価係数

である。

【問題①】では以下の公式を用いて求める。

元利合計＝元金×複利終価係数$\cdots(1)$

【問題②】の公式は次。

利息＝元金×（複利終価係数-1）$\cdots(2)$

※利息計算の右辺にある$-1$には数学的な意味があるが、高校数学の知識が必要なので省略。

※実際の問題には早見表の値が複数載っていて、どれかはダミーである。よく見極めよう。

練習問題

【解答】

元利合計のパターンです。$(1)$式を用いると、求める元利合計は

$570,000×1.26677008$

$=722,058.9\cdots$

小数第1位を四捨五入して、答えは ￥722,059となります。

【解答】

この問題は半年1期です。年利率5%、半年1期で7年借りるのは、年利率2.5%、1年1期で14年借りることと同じです。

利息のパターンです。$(2)$式を用いると、求める利息は

$820,000×(1.41297382-1)$

$=338,638.5\cdots$

小数第1位を四捨五入して、答えは ￥338,639となります。

まとめ

この第11講は複利計算の基本です。今後、次から次へと複利計算に関わる問題がでますから、今のうちに復習しておきましょう。

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プロフィール

でるてぃーメモ 管理人

大学2年。趣味はそろばんと資格勉強。個別指導塾とHP更新のバイトをしています。