段位応用計算 第12講 続・複利終価
投稿:2023/09/25 更新:2024/09/24
こんにちは！ でるてぃーです。
今回は第12講、続・複利終価です。前回では複利終価を、早見表の値で計算しましたね。
実は『段位応用計算』で出題される複利終価には2種類あり、今回は2番目です。
目次（見出しにジャンプします）
今回の問題は少し厄介
￥$100$以下は利息を計算しないというルールの問題が出題されます。
このルールのせいで、早見表の値は使えなくなります。それは、端数を切り捨てたりしないことを想定しているからです。
まず例から考えていきましょう。
複利法の例
￥$100,000$を年利率$5$%で$3$年借りたときの支払額を考えましょう。毎期￥$100$未満に利息は計算しません。
1年目
￥$100,000$に$5$%の利息が付きます。1年目終わりの元利合計は
$100,000×1.05=105,000$
￥$105,000$となります。なお、￥$100$未満の端数はないので、そのまま2年目に進みます。
2年目
2年目開始時の元金は￥$105,000$です。2年目終わりには、この元金に利息計算がなされます。
つまり、2年目終わりの元利合計は
$105,000×1.05=110,250$
￥$110,250$となります。また、￥$100$未満の端数はありますね。￥$50$です。
この値には利息計算がされませんから、取っ払ってしまいましょう。つまり3年目は￥$110,200$でスタート。
3年目
3年目開始時の元金は￥$110,200$です。3年目終わりには、この元金に利息計算がなされます。
つまり、3年目終わりの元利合計は
$110,200×1.05=115,710$
￥$115,710$となります。3年で終わりなので、￥$100$の端数云々は考えなくていいです。
第11講同様、3年目までの元金の推移を表にしてまとめました。
端数期間が含まれる問題
もう一つ、端数期間が含まれている場合もあります。
利息計算は1年の終わりに発生しますよね。3か月とかだったら1年に満たないので端数期間といいます。
じゃあ端数期間の利息はどうすんの？ ということになりますが、問題に指示が書いてあるので心配ご無用。それは
端数期間は単利法とする
というルールです。つまり単利法のやり方で計算してしまえばいいです。
……でもやっぱり日本語だけでは分かりづらいですから、もう一つ例をあげましょう。
複利法の例
￥$635,000$を年利率$4$%で$3$年$9$か月借りたときの支払額を考えましょう。毎期￥$100$未満に利息は計算しません。
1年目
￥$635,000$に$4$%の利息が付きます。1年目終わりの元利合計は
$635,000×1.04=660,400$
￥$660,400$となります。なお、￥$100$未満の端数はないので、そのまま2年目に進みます。
2年目
2年目開始時の元金は￥$660,400$です。2年目終わりには、この元金に利息計算がなされます。
つまり、2年目終わりの元利合計は
$660,400×1.04=686,816$
￥$686,816$となります。また、￥$100$未満の端数はありますね。￥$16$です。
この値には利息計算がされませんから、取っ払ってしまいましょう。つまり3年目は￥$686,800$でスタート。
3年目
3年目開始時の元金は￥$686,800$です。3年目終わりには、この元金に利息計算がなされます。
つまり、3年目終わりの元利合計は
$686,800×1.04=714,272$
￥$714,272$となります。今回も￥$100$未満の端数があります。￥$72$です。
この値には利息計算がされませんから、取っ払ってしまいましょう。つまり4年目は￥$714,200$でスタート。
3年9か月目
4年目開始時の元金は￥$714,200$です。9か月は1年に満たない端数期間ですから、単利法で計算します。
つまり、3年9か月目終わりの利息は
$714,200×0.04×\frac{9}{12}=21,426$
よって、求める元利合計は
$714,200+21,426=735,626$
￥$735,626$となります。
例によって表を書いておきます。
表を描く必要性
表は書くべきだと思います。今見た2つの図くらい綺麗に書かなくてもいいので書きましょう。
これには理由があります。
「利息」を求めさせることもある
さっきまでは元利合計を求めていましたが、利息を計算させる問題も出題されます。
この場合、元金×(1+年利率)で計算すると肝心の利息部分が分からなくなってしまいます。
下図はさっきの3年9か月の問題です。これは元利合計を求めさせる問題でした。
では3年9か月経ったときの利息はいくらでしょう。実は、表を見ればすぐにわかります。
利息＝毎期分の利息の和
つまり￥$100,354$となります。
利息計算における注意
「元利合計からもとの金額引けば、利息として増えた金額になるんじゃね？」
実は違います。
上を見れば分かると思いますが、両者は一致しません。
利息計算する前に端数が消え去ることで、本来よりほんのちょっと利息が少なくなるからです。
つまり、利息は何らかのメモを書かないと計算できません。
試験での対応
・【問題①】元利合計を求める問題（端数期間なし）
・【問題②】利息を求める問題（端数期間あり）
元利合計/利息、端数期間の有無で2×2=4パターンありますが、練習問題は2問です。
求め方
いずれの場合でも表を描いて複利計算する。
利息計算の場合は、毎期分の利息の和を答える。
端数期間
端数期間があれば、その期間は単利法で計算する。
便利な値
・$\frac{3}{12}=0.25$
・$\frac{6}{12}=0.5$
・$\frac{9}{12}=0.75$
練習問題
【問題①】元金￥330,000を年利率7%，1年1期の複利で4年間預けると元利合計はいくらですか。ただし，毎期￥100未満の金額には利息を計算しないものとする。
【解答】
元利合計のパターンです。描くべき表は次の通り。
答えは ￥722,059となります。
【問題②】元金￥189,000を年利率8%，1年1期の複利で3年3か月間預けると元利合計はいくらですか。ただし，端数期間は単利法とし，毎期￥100未満の金額には利息を計算しないものとする。
【解答】
利息のパターンです。しかも端数期間あり。描くべき表は次の通りです。
一応補足しますが、最後の3か月に発生する利息は
$238,000×0.08×\frac{3}{12}=4,760$
答えは ￥53,840となります。
まとめ
複利計算は早見表で計算するのも大事ですが、原理そのものを学ぶことが本質です。
次は複利現価についてお話しします。
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プロフィール
でるてぃーメモ 管理人
大学2年。趣味はそろばんと資格勉強。個別指導塾とHP更新のバイトをしています。