段位応用計算 第12講 続・複利終価

この記事では『段位応用計算』の解説を載せています。
全珠連の段位検定における科目，応用計算の問題パターンを網羅することを目指します。

今回は第12講，続・複利終価です。前回では複利終価を，早見表の値で計算しましたね。
実は『段位応用計算』で出題される複利終価の問題には2タイプあり，今回は2番目です。

今回の問題は少し厄介

￥$100$以下は利息を計算しないというルールの問題が出題されます。

このルールのせいで，早見表の値は使えなくなります。
それは，端数を切り捨てたりしないことを想定しているからです。

とりあえず次の例で考えていきましょう。

複利法の例

￥$100,000$を年利率$5$%で$3$年借りたときの支払額を考えましょう。毎期￥$100$未満に利息は計算しません。

1年目

￥$100,000$に$5$%の利息が付きます。1年目終わりの元利合計は

$100,000×1.05=105,000$

￥$105,000$となります。
なお，￥$100$未満の端数はないので，そのまま2年目に進みます。

2年目

2年目開始時の元金は￥$105,000$です。
2年目終わりには，この元金に利息計算がなされます。
つまり，2年目終わりの元利合計は

$105,000×1.05=110,250$

￥$110,250$となります。
また，￥$100$未満の端数はありますね。￥$50$です。
この値には利息計算がされませんから，取っ払ってしまいましょう。つまり3年目は￥$110,200$でスタート。

3年目

3年目開始時の元金は￥$110,200$です。3年目終わりには，この元金に利息計算がなされます。
つまり，3年目終わりの元利合計は

$110,200×1.05=115,710$

￥$115,710$となります。3年で終わりなので，￥$100$の端数云々は考えなくていいです。

第11講同様，3年目までの元金の推移を表にしてまとめました。

端数期間が含まれる問題

もう一つ，端数期間が含まれている場合もあります。

利息計算は1年の終わりに発生しますよね。
3か月とかだったら1年に満たないので端数期間といいます。

じゃあ端数期間の利息はどうするの？ ということになりますが，問題に指示が書いてあるので心配ご無用。それは

端数期間は単利法とする

というルールです。つまり単利法のやり方で計算してしまえばいいです。
でもやっぱり言葉だけでは分かりづらいですから，もう一つ例をあげましょう。

複利法の例

￥$635,000$を年利率$4$%で$3$年$9$か月借りたときの支払額を考えましょう。毎期￥$100$未満に利息は計算しません。

1年目

￥$635,000$に$4$%の利息が付きます。1年目終わりの元利合計は

$635,000×1.04=660,400$

￥$660,400$となります。
なお，￥$100$未満の端数はないので，そのまま2年目に進みます。

2年目

2年目開始時の元金は￥$660,400$です。2年目終わりには，この元金に利息計算がなされます。
つまり，2年目終わりの元利合計は

$660,400×1.04=686,816$

￥$686,816$となります。
また，￥$100$未満の端数はありますね。￥$16$です。
この値には利息計算がされませんから，取っ払ってしまいましょう。つまり3年目は￥$686,800$でスタート。

3年目

3年目開始時の元金は￥$686,800$です。3年目終わりには，この元金に利息計算がなされます。
つまり，3年目終わりの元利合計は

$686,800×1.04=714,272$

￥$714,272$となります。今回も￥$100$未満の端数があります。￥$72$です。
この値には利息計算がされませんから，取っ払ってしまいましょう。つまり4年目は￥$714,200$でスタート。

3年9か月目

4年目開始時の元金は￥$714,200$です。9か月は1年に満たない端数期間ですから，単利法で計算します。
つまり，3年9か月目終わりの利息は

$714,200×0.04×\frac{9}{12}=21,426$

よって，求める元利合計は

$714,200+21,426=735,626$

￥$735,626$となります。例によって表を書いておきます。

表を描く必要性

表は書くべきだと思います。今見た2つの図くらい綺麗に書かなくてもいいので書きましょう。

これには理由があります。

「利息」を求めさせることもある

さっきまでは元利合計を求めていましたが，利息を計算させる問題も出題されます。
この場合，元金×(1+年利率)で計算すると肝心の利息部分が分からなくなってしまいます。

下図はさっきの3年9か月の問題です。これは元利合計を求めさせる問題でした。

では3年9か月経ったときの利息はいくらでしょう。実は，表を見ればすぐにわかります。

利息＝毎期分の利息の和

つまり￥$100,354$となります。

利息計算における注意

「元利合計からもとの金額引けば，利息として増えた金額になるんじゃね？」

実は違います。
実際の利息は￥$100,354$ですが，元利合計からもとの金額を引くと

$735,626-635,000=100,626$

となり両者は一致しません。
利息計算する前に端数が消え去ることで，本来よりほんのちょっと利息が少なくなるからです。

よって，利息は何らかのメモを書かないと計算できません。

試験での対応

「元利合計/利息」「端数期間の有無」で2×2=4パターンありますが，練習問題は2問です。

求め方

いずれの場合でも表を描いて複利計算する。
利息計算の場合は，毎期分の利息の和を答える。

端数期間

端数期間があれば，その期間は単利法で計算する。

便利な値

$\frac{3}{12}=0.25$
$\frac{6}{12}=0.5$
$\frac{9}{12}=0.75$

練習問題

【解答】

元利合計のパターンです。描くべき表は次の通り。

答えは ￥722,059となります。

【解答】

利息のパターンです。しかも端数期間あり。描くべき表は次の通りです。

一応補足しますが，最後の3か月に発生する利息は

$238,000×0.08×\frac{3}{12}=4,760$

答えは ￥53,840となります。

複利計算は早見表で計算するのも大事ですが，原理そのものを学ぶことが本質です。
次は複利現価についてお話しします。