段位応用計算 第13講 複利現価

この記事では『段位応用計算』の解説を載せています。
全珠連の段位検定における科目，応用計算の問題パターンを網羅することを目指します。

今回は第13講，複利現価です。超簡単に言えば，複利終価と逆の操作をする計算です。

まずは複利終価の復習

まず元金があって，1年ごとに利息がつくんでした。第11講の内容を数字だけ変えて載せておきます。

￥$1,000,000$を年利率$2$%で$3$年借りることを考えましょう。

1年目

￥$1,000,000$に$2$%の利息が付きます。1年目終わりの元利合計は

$1,000,000×1.02=1,020,000$

￥$1,020,000$となります。

2年目

2年目開始時の元金は￥$1,020,000$です。2年目終わりには，この元金に利息計算がなされます。
つまり，2年目終わりの元利合計は

$1,020,000×1.02=1,040,400$

￥$1,040,400$となります。

3年目

3年目開始時の元金は￥$1,040,400$です。3年目終わりには，この元金に利息計算がなされます。
つまり，3年目終わりの元利合計は

$1,040,400×1.02=1,061,208$

￥$1,061,208$となります。

とりあえず，3年目までの元金の推移を表にしてまとめました。

将来価値から逆算したい

上の議論を踏まえて考えてみましょう。

年利率$2$%で$3$年後に￥$1,061,208$になる元金って，いくらでしょう？

一年ごとに複利計算がなされるわけですから，逆算して$÷1.02$すればいいですね。
上の表を逆にたどると，元の￥$1,000,000$にもどることが分かると思います。

ここで新しい概念を考えます。
将来価値から，金利（利息）を全て取っ払った現在価値を複利現価といいます。

字面だと難しいので上の例で当てはめてみましょうか。
$3$年後の￥$1,061,208$が将来価値です。
年利率$2$%，$3$年分の金利は￥$61,208$ということになりますよね。

この金利を将来価値から差し引いた￥$1,000,000$が現在価値ということです。
「将来の$x$円は，今いくらなのか？」を求めるのが複利現価というわけだ。

早見表「複利現価表」

$3$回「$÷1.02$」するのも面倒ですよね。なんか便利グッズとかないのでしょうか。

……実はあるんです。
複利終価で使った「複利終価表」のようなものが複利現価にもあります。「複利現価表」といいます。

この値（複利現価係数といいます）を使うことで，「将来の$x$円は，今いくらなのか？」という皮算用を爆速で計算できます！

改定された『段位応用計算』の問題文には，すでにこの複利現価係数がついています。
ただしダミーの値までついているので，よーく見極めよう。

表を使ってみよう

￥$1,061,208$から，年利率$2$%，$3$年分の金利を取っ払った現在価値を求めます。その際

$2$%,$3$期

の値に注目します。

今回は$0.94232233$という値ですね。これを将来価値￥$1,061,208$にかけ算します。

$1,061,200\times 0.94232233$
$=999,992.4\cdots$

元金￥$1,000,000$にめちゃめちゃ近いですね！
でも，ぴったり￥$1,000,000$にならないのは，表の値が小数第8位までで省略されているからです。

そして，表の値はある法則にしたがって羅列されているわけですが……またお話ししましょう。

諸注意

次の$2$つは言っていることが違うように聞こえますが，意味は同じです。
全く同様に計算します。

①年利率$2$%，$3$年後の将来価値￥$500,000$は，現在価値としていくら？

②年利率$2$%，$3$年後に支払うべき負債￥$500,000$は，今支払えば何円で済む？

試験での対応

現在価値＝将来価値×複利現価係数

注意したいのは，問題文に「￥$1,000$未満切り上げ」と書いてあること。

※実際の問題には早見表の値が複数載っていて，どれかはダミーである。よく見極めよう。

練習問題

【解答】

複利現価表の値を読み取りましょう。今回読み取る部分は年利率$3.5$%，$9$期なので

$0.73373097$

です。これに支払うべき負債￥$1,300,000$をかけ算しましょう。それだけです。

$0.73373097\times 1,300,000$
$=953,820\cdots$

￥$1,000$未満を切り上げて，￥954,000となります。